Ja kuigi sellega päris nõus olla ei tahaks — matemaatikast on palju enam kasu kui mõnest mängust —, siis on tal vähemalt kõik need kolm omadust igati olemas. Oletame, et prokurör leiab, et süüdistatava sissetulek pangakontol ja teatavad linnas toime pandud vargused satuvad samale ajale. Tänapäeval saab igaüks soovi korral lumikatte tüseduse näitusid internetis EMHI kodulehel lumekaardilt vaadata. Sagedased optikanähtused Antarktisel on ka valepäikesed eredad ja päikesesarnased halonähtused , mis esinevad siis, kui taevas on päikese ümbruses kõrged õhukesed kiud- või kiudkihtpilved. Matemaatilised mudelid ja meetodid leiavad edukat rakendamist eluteadustes, nende kasutamisel omandavad aga ka sotsiaal- ja humanitaarteadused uue üldistus- ja ennustusjõu.

Sissejuhatus Matemaatika meie ümber Kujutage ette, et istute hubases kohvikus ja vaatate linnatänavale. Kohv on ostetud, rehkendused kassa juures tehtud ja tundub, et matemaatika ongi tänaseks läbi. Siis aga märkate, et tänaval puhub lõbus tütarlaps seebimulle ja kuigi need on küll peaaegu alati erineva suurusega, on need alati ühtmoodi ümmargused.

Miks on seebimullid ümmargused? On see tüdruku või seebimullide süü? Tegemist ongi juba füüsikalise maiguga lõbusa matemaatilise küsimusega.

Tema vastuski on segu füüsikalistest teadmistest ja matemaatikast: füüsikast teame, et seebikile sulgeb endasse võimalikult suure ruumala; Kui palju on keskmine liige paksus aga näitab, et sellise printsiibi korral peab mull olema täpselt kerakujuline. Raamatus puudutame ringi sarnast omadust — sama ümbermõõduga kujunditest piirab ta suurima pindala [lk 97]. Matemaatikat võime näha ka kohviku teleekraanil, kus ülekantav jalgpallimäng on jõudnud penaltiseeriani.

Kas mängijad valivad väravanurga, kuhu nad palli löövad, mingi mustri järgi? Kas peaks valiku korral alustama penaltiseeriat lööjana või kaitsjana? Uurides möödunud penaltiseeriate tulemusi ja videokordusi, võime leida seaduspärasusi — sellega tegeleb matemaatiline statistika.

Seaduspärasused kirjas, võime nende abil ehitada parima strateegia — sellele aitavad kaasa tõenäosuslikud kirjeldused [lk ]. Kui lõpuks õnnestub ka kohvikust matemaatika juurest põgeneda, jääte tema küüsi jälle esimese lillepeenra kõrval. Matemaatiline kirjeldus aitab kirjeldada ja selgitada erinevate mustrite teket ja seeläbi lillenuppude ilusaid kujusid.

Näiteks teatud päevalillesortide õie paigutuses on 21 sinist ja 13 ookeanisinist spiraali. Need pole sugugi suvalised arvud — 21 ja 13 on Fibonacci arvud [lk ], mis tulevad looduses tihti esile ning mille esinemist oskame ka selgitada. Viimaks, kui hakkate lille nime ja peret oma nutitelefoni või arvuti abil kindlaks tegema, küsite jälle abi matemaatikalt: otsingumootorite tööprintsiibid on olnud esmalt kirjas matemaatilises keeles ning arvutite sise-elu põhinebki ainult ühtedel, nullidel ning nendega arvutamisel.

Matemaatika kui keel Mõni ütlebki hoopis, et matemaatika ise on keel.

Sissejuhatus Matemaatika meie ümber Kujutage ette, et istute hubases kohvikus ja vaatate linnatänavale. Kohv on ostetud, rehkendused kassa juures tehtud ja tundub, et matemaatika ongi tänaseks läbi. Siis aga märkate, et tänaval puhub lõbus tütarlaps seebimulle ja kuigi need on küll peaaegu alati erineva suurusega, on need alati ühtmoodi ümmargused. Miks on seebimullid ümmargused? On see tüdruku või seebimullide süü?

Ja tõepoolest, matemaatika aitab ju kirjeldada maailma nagu iga teine keel ning lubab seeläbi omavahel suhelda ning informatsiooni vahetada.

Siiski erineb matemaatika keel tavapärastest keeltest.

Matemaatika õhtuõpik

Tavapärases keeles on meil peaaegu iga ettejuhtuva objekti tarvis üks sõna või sõnapaar. Tavapärased keeled hoomavad ja kirjeldavad peaaegu kõike, millega kokku puutume, ent teevad seda tihti mitmetähenduslikult. Näiteks pall võib tähendada põhimõtteliselt nii ümmargust jalgpalli kui ka ovaalset Ameerika jalgpalli. Matemaatika otsustab kirjeldada vähem, aga see-eest täpsemalt — tihti vaid mõnda väikest detaili ühest või teisest objektist.

Samas on need kirjeldused ise täpsed ja üheselt mõistetavad: palli kirjeldaksime kera või ellipsoidina, olenevalt tema kujust, ning mõlemail neist mõistetest on täpne ja ühene matemaatiline definitsioon [lk 44]. Kuna matemaatikud kasutavad eraldiseisvat sõnavara, tundub vahel, et matemaatikud ei hooli üldse elust ning nende mõistetel ja käsitlusel kaob argipäevaga igasugune side. See on ka üks põhjuseid, miks matemaatikat on raske õppida [lk 30]. Siiski ei tähenda matemaatiliste mõistete abstraktsus, et neist ükskord kasu ei võiks tulla.

Aiatöödeks vajaminevaid kaupu tuleb kohati oodata nädalaid või isegi kuid

Mõnikord me ei oska lihtsalt seoseid ümbritsevaga näha ning nad võivad alles aastasadade pärast välja tulla. Näiteks kompleksarvud [lk 89], mida peeti pikalt matemaatikute kummaliseks hulluseks, mängivad täna olulist rolli maailma kõige väiksemal skaalal kirjeldamisel — nende abil on hea kirja panna kõige väiksemate osakeste käitumist.

Viimaks, kuigi tänagi peetakse üht ja teist osa abstraktsest matemaatikast üsna kasutuks, võime kinnitada, et kogu siin raamatus toodud koolimatemaatika on siiski igati eluline ning maailma kirjeldamisel ja mõistmisel asendamatu tööriist! Matemaatika muutub ja areneb Matemaatikas ei ole aga ainult keel — matemaatika uurib, muudab ja arendab ise sedasama keelt, milles ta end väljendab. Matemaatilised mõisted muutuvad ja nende muutumises peitub ka suur osa matemaatikast.

Isegi see, kuidas mõeldakse matemaatiliselt arvudest, on muutunud — kunagi ammu tunti ainult arve 1, 2, 3, Võib tekkida küsimus, et kuidas saab muutuda see, mida tähendab arv. See on vajalik selleks, et tagada matemaatilise keele ühene mõistetavus ja selgus. Või teiselt poolt vaadatuna on matemaatikud aru saanud, et arvutada — liita ja lahutada, korrutada ja jagada — saab mitte ainult arvudega 1, 2, 3, 4, See näitab, kuivõrd on arvude mõiste tegelikult suhteline — kas arvuks nimetame kõike, millega oskame arvutada, või peaksime arvudeks nimetama ainult objekte, mis koosnevad numbritest?

Lume mõõtmisest

Arvude arengust saab pikemalt lugeda aga arvuhulkade peatükist [lk 78]. Mis on matemaatika? Matemaatika on tore kombinatsioon rangusest ja vabadusest. On küll üheselt öeldud, mida ühe või teise objekti all mõeldakse, ning on antud ranged reeglid nendega mängimiseks, kuid samas võib neidsamu objektide tähendusi ning reegleid alati väänata.

Seda on eriti paslik teha siis, kui see toob kaasa rohkem seoseid, rohkem lihtsust, rohkem ilu ja rohkem mõistmist. Siiski võib lugejat kummitama jääda õigustatud küsimus: kas oleme ikka vastanud, mis on matemaatika?

Ei ole. Nagu on raske öelda, mis ikkagi on õnn või mis tarkus, on raske ka öelda, mis on matemaatika. Tegemist on lihtsalt nii mitmetahulise ja laia mõistega. Lõppude lõpuks õpetab matemaatika meile, et meil on millegi defineerimisel ka parasjagu vabadust. Küllap pole sellest suurt kurja, kui igaühel on veidi omamoodi arusaam matemaatikast. Loodame, et see raamatuke aitab oma isiklikku arusaama leida ka lugejal. Head mängu iseloomustavad kolm omadust: ta on mitmekülgne, ta arendab ja ta võimaldab midagi õppida.

Mõnikord räägitakse ka matemaatikast kui mängust.

Ja kuigi sellega päris nõus olla ei tahaks — matemaatikast on palju enam kasu kui mõnest mängust —, siis on tal vähemalt kõik need kolm omadust igati olemas. Matemaatika on mitmekülgne Matemaatika peidab endas erinevaid ja tihti lausa vastandlikke külgi.

Matemaatikast võib leida täpsust, rangust ja kindlust. Niipea kui ühe matemaatiliselt korrektse selgituse või seose leiad, jääbki see õigeks — mitte nii nagu tuba, mida koristad ja koristad, aga mis ikka jälle mustaks saab.

Nii ehitab iga matemaatika õppija oma teadmistele kindlat vundamenti. Üksluine vundamendi ladumine tüütaks aga kindlasti ära. Vaja on ka ootamatusi ja üllatusi.

Pensioniraha voolab kinnisvaraturule oodatust vähem

Matemaatikas selle koha pealt kokku ei hoita — näiteks selgub, et lisaks meile juba tuntud kujunditele, nagu ruudud, ringid, kolmnurgad, leidub ka kujundeid, mille ümbermõõt on lõpmatu, aga pindala lõplik [lk ]. Või et naturaalarve 1, 2, 3, Paljudele meeldib aga hoopis loomingulisus, meeldib vabadus. Seda on alguses ehk matemaatikas kõige raskem märgata — kus kogu selle korra ja täpsuse vahel jääb ruumi vabadusele?

Aga samamoodi nagu kindel vorm soneti või haiku korral, ei piira ka matemaatilise mõtte kindel vorm loomingulisust. Oluline osa matemaatikast on uute seoste, uute mõtteviiside, uute objektide loomine. Kas pole vahva arusaam, et võime geomeetriast — kehade kujust ja kumerusest — mõelda sugugi mitte ainult kolmemõõtmeliselt, vaid kahekümnes, kolmekümnes või lausa tuhandes mõõtmes?

Kuidas üks kolmekümnemõõtmeline kera välja võiks näha? Proovi ette kujutada! Meie näiteks ei oska Miks õppida matemaatikat? Matemaatika arendab mõtlemist Kui tahad saada juristiks, on matemaatika abiks. Kõige selgemalt oma argumente üles ehitama — olgu nad kui pikad tahes — ning kõige kärmemalt teiste argumentidest vigu leidma — olgu nad kui kavalad tahes — õpetab ilmselt matemaatika. Matemaatilise arutelu jaoks on alati tarvilik välja käia täpsed eeldused, täpne arutluskäik ning täpsed järeldused — hajusad argumendid läbi ei lähe.

Oletame, et prokurör leiab, et süüdistatava sissetulek pangakontol ja teatavad linnas toime pandud vargused satuvad samale ajale.

Kas seda võib kasutada tõendina tema kahjuks? Näiteks on ju selge, et kui jäätiste läbimüük ja päikesepaiste korreleeruvad, ei järeldu sellest, et jäätise ostmine toob kaasa päikesepaiste.

Mida me lisaks peaksime teadma? Kui tahad saada arstiks, on matemaatika kohustuslik. Statistika aitab aru saada, millal ravimifirmade reklaamloosungitel on ka tegelikku sisu [lk ] ning mida ikkagi tähendab, kui üks või teine DNA-s olev geen suurendab haigestumise riski. Kui tahad saada arhitektiks, ei saa samuti ümber matemaatikast.

Matemaatika õpetab rangelt kirja panema proportsioone ja seoseid. Samasuguse rangusega töötavad ka kõik arhitektuuriliste mudelite ehitamise programmid, mis tahavad Suurendage elementi erektsiooni seisundis, et arhitekt oskaks kirjeldada oma jooni ka matemaatiliselt, võrranditega. Arhitekt peab oskama arvutada ruumide ja pindade suuruseid, peab teadma, kuidas leida ühe või teise tala kandevõimet.

Kui tahad saada luuletajaks, ei tule matemaatika jällegi kahjuks. Prantsuse luuletaja Paul Valéry näiteks armastas matemaatikat — tema päevikud on täis matemaatilisi ja eriti geomeetrilisi mõttekäike.

SCP-049 Plague Doctor (SCP Animated)

Matemaatika olevat ta enda sõnul avaldanud suurt mõju ka ta luulele. Kindlasti pole loetletud elukutsed ainsad, kus matemaatikat vaja läheb või kus ta kasuks võiks tulla — väike maadlus matemaatikaga on hea treening kogu eluks. Matemaatika õpetab tundma ja ennustama maailma Kõige enam tuleb matemaatika ehk siiski kasuks kõigile, kes tahavad mõista või kontrollida end ümbritsevat elus ja eluta loodust.

Matemaatika kirjeldab Matemaatilise vedelikefüüsika abil saame selgitust jõgede müsteeriumile: miks nii sinikaelpardi, vanaema kui kiirkaatri taha tekivad lained täpselt sama nurga alt? Matemaatilise bioloogia abil leiame seoseid geenide ja haiguste vahel ning suudame mõista südame ja veresoonkonna tööd.

Viimast valemit modifitseerides on võimalik arvutada ka teisi tinglikke karakteristikuid ja testida hüpoteesegi vt ka Joonis

Näiteks matemaatilised kirjeldused südamerakkude kaltsiumiradadest annavad lootust, et suudame paremini kontrollida südame rütmihäireid. Meil on igas keharakus paarkümmend tuhat geeni, mille avaldumine või mitteavaldumine peaks määrama kogu meie olemise ja tervise.

1. Suurenenud liige 8.
2. Kas liikme suurus soltub sormedest
3. Kuidas suumida liige, millised harjutused
4. Tehnikad Kuidas Zoom liige
5. Manner on ümbritsetud Lõuna-Jäämeregamida kõik geograafid ookeanina ei tunnusta.
6. Suurenda munn salviga
7. Liige 16 cm Paksus 13
8. Suurenda Video massaaz

Tahaksime kindlate geenide avaldumist või mitteavaldumist siduda teatud haigustega — nii võiksime leida viise nende haiguste ravimiseks. Selliste seoste leidmine on juba oma olemuselt matemaatiline töö. Töö tulemusi saab esitada aga ka kenade graafikutega, millelt on võimalik näha, mis geenide avaldumiskombinatsioonid võiksid peituda ühe või teise haiguse põhjustajatena.

Matemaatikaga saame kirjeldada ning seeläbi mõista sotsiaalvõrgustike olemust ja omadusi. Tihti Kui palju on keskmine liige paksus selliseid võrgustikke maatriksite abil [lk ]. Näiteks tuleb välja, et inimtutvuste võrgustik on väga spetsiifilise struktuuriga — nimelt on ta üsna tihedalt seotud, iga inimene siin maailmas on igast Kui palju on keskmine liige paksus maksimaalselt 6 sõprussuhte kaugusel.

Kasulikke linke Lume mõõtmisest Lumi on väga tähtis ollus, kirjutati juba sajand tagasi. Pole mingi ime — tosina sentimeetri paksune lumikate tagab saanitee, aga rikub autotee.